Question

已知是橢圓的兩個焦點，為坐標原點，點在橢圓上，且，⊙是以為直徑的圓，直線：與⊙相切，并且與橢圓交于不同的兩點

（1）求橢圓的標準方程；
（2）當，且滿足時，求弦長的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）求橢圓的標準方程，可利用待定系數法，求出的值即可，由已知，得，可得，把代入橢圓的方程，即可求出的值，從而得橢圓的標準方程；（2）當，且滿足時，求弦長的取值范圍，可利用弦長公式來求，設，由，得，得，由于同時含有，可消元，由直線：與⊙相切，可得，這樣由弦長公式得，可求出的范圍即可，由已知，且滿足，由，可得，從而得的范圍，進而得弦長的取值范圍．
試題解析：（1）依題意，可知，∴，
解得
∴橢圓的方程為         5分
（2）直線：與⊙相切，
則，即，  6分
由，得，
∵直線與橢圓交于不同的兩點
設∴，

，
∴     ．9分
∴∴，
∴    ．11分
設，
則，
∵在上單調遞增∴     13分
考點：橢圓的方程，直線與二次曲線的位置關系．