Question

【題目】已知函數f（x）= ，且f（1）=﹣1．
（1）求f（x）的解析式，并判斷它的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：可求得a=﹣2，

f（x）= =﹣2x+

因為f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）

且f（﹣x）=2x﹣ =﹣f（x），

所以f（x）是奇函數

（2）解：f（x）在（0，+∞）上的單調遞減，

證明：設任意0＜x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=﹣2x1+ +2x2﹣ =（x2﹣x1）（2+ ）

因為0＜x1＜x2 所以x2﹣x1＞0且2+ ＞0，

所以 f（x1）＞f（x2）

所以 f（x）在（0，+∞）上的單調遞減

【解析】（1）將a=﹣2代入f（x），求出函數的定義域，得到f（﹣x）=﹣f（x），從而判斷出函數的奇偶性；（2）根據函數單調性的定義證明函數的單調性即可．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．