Question

【題目】若函數f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣1，1]
B.[﹣1， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣1，﹣ ]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數f（x）=x﹣ sin2x+asinx的導數為f′（x）=1﹣ cos2x+acosx，
由題意可得f′（x）≥0恒成立，即為1﹣ cos2x+acosx≥0，即有 ﹣ cos2x+acosx≥0，
設t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
當t=0時，不等式顯然成立；
當0＜t≤1時，3a≥4t﹣ ，由4t﹣ 在（0，1]遞增，可得t=1時，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣ ；當﹣1≤t＜0時，3a≤4t﹣ ，由4t﹣ 在[﹣1，0）遞增，可得t=﹣1時，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤ ．綜上可得a的范圍是[﹣ ， ]．
故選：C．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．