Question

【題目】設函數f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：求導函數，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；

當a≤0時，f'（x）≤0恒成立，f（x）單調遞減；當a≥1 時，f'（x）≥0恒成立，f（x）單調遞增；

當0＜a＜1時，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina

當x∈[0，x1]時，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調遞增

當x∈[x1，x2]時，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）單調遞減

當x∈[x2，π]時，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

（2）

解：由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤ ．

令g（x）=sinx﹣ （0≤x ），則g′（x）=cosx﹣

當x 時，g′（x）＞0，當 時，g′（x）＜0

∵ ，∴g（x）≥0，即 （0≤x ），

當a≤ 時，有

①當0≤x 時， ，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②當 時， =1+ ≤1+sinx

綜上，a≤ ．

【解析】（1）求導函數，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，對a進行分類討論，即可確定函數的單調區間；（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤ ，構造函數g（x）=sinx﹣ （0≤x ），可得g（x）≥0（0≤x ），再考慮：①0≤x ；② ，即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．