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(04年廣東卷)(12分)

設函數,其中常數為整數

(I)當為何值時,

(II)定理:若函數上連續,且異號,則至少存在一點,使得

試用上述定理證明:當整數時,方程內有兩個實根

解析:(I)函數f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續,且

當x∈(-m,1-m)時,f (x)<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1-m)

當x∈(1-m, +∞)時,f (x)>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1-m)

根據函數極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當整數m≤1時,f(x) ≥1-m≥0

(II)證明:由(I)知,當整數m>1時,f(1-m)=1-m<0,

函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續減函數.

由所給定理知,存在唯一的

而當整數m>1時,

類似地,當整數m>1時,函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續增函數且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的

故當m>1時,方程f(x)=0在內有兩個實根。

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(A)          (B)                 (C)                   (D)

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