Question

在周長為48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M、N為焦點，且過點P的雙曲線方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵△MPN的周長為48，且tan∠PMN＝， 　　∴設|PN|＝3k，|PM|＝4k， 　　則|MN|＝5k． 　　由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4． 　　∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20． 　　以MN所在直線為x軸，以MN的中點為原點建立直角坐標系． 　　設所求雙曲線方程為＝1(a＞0，b＞0)． 　　由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4． 　　由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10． 　　則b2＝c2－a2＝96，所求雙曲線方程為＝1． 　　解析：首先應建立適當的坐標系．由于M、N為焦點，所以建立如圖所示直角坐標系，可知雙曲線方程為標準方程．由雙曲線定義可知||PM|－|PN||＝2a，|MN|＝2c，所以利用條件確定△MPN的邊長是關鍵．

提示：

選取的坐標系不同，則雙曲線的方程不同，但雙曲線的形狀不會發生變化，解題中應注意合理選取坐標系，這樣能使所求曲線的方程更簡捷．