Question

在周長為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M、N為焦點,且過點P的雙曲線方程.

Answer 1

解:∵△MPN的周長為48,且tan∠PMN=,

∴設|PN|=3k,|PM|=4k,則|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

以MN所在直線為x軸,以MN的中點為原點建立直角坐標系.

設所求雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0).由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a²=4.

由|MN|=20,得2c=20,c=10.則b²=c²-a²=96,所求雙曲線方程為=1.