Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點為，，是橢圓上半部分的動點，連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于，兩點（點在的上方或重合）.

（1）當面積最大時，求橢圓的方程；

（2）當時，若是線段的中點，求直線的方程；

（3）當時，在軸上是否存在點使得為定值，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在,點，使得為定值.

【解析】

（1）由題意可得點A與點B重合時，面積最大，借助基本不等式即可求出b的值，可得橢圓方程；
（2）設出點，則：，：，求出點A的坐標，點B的坐標，根據B是線段的中點，用中點坐標公式列方程，可得M點坐標，進而求出直線的方程；
（3）設，，求出點A的坐標，根據向量的數量積即可求出

解：（1）由已知：

，

當且僅當時等號成立；

則：，

此時橢圓方程為：；

（2）點在軸或其左側，則圖形如本題圖，設，那么：

：，：，

令

得：，，

是線段的中點，

則：，

解得：，則，

則：：，即：；

（3）：，設，，

若點在軸左側，則同上，，

，，

，

此時，，；

綜上，故存在點使得為定值.