Question

【題目】已知圓：()，定點，，其中為正實數.

（1）當時，判斷直線與圓的位置關系；

（2）當時，若對于圓上任意一點均有成立(為坐標原點)，求實數的值；

（3）當時，對于線段上的任意一點，若在圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 相離. (2) ，．(3)

【解析】

（1）利用圓心到直線的距離和半徑的關系即可得到判斷；（2）利用兩點間的距離公式進行化簡整理，由點P的任意性即可得實數m，λ的值；（3）設出點P和點N的坐標，表示出中點M的坐標，M、N滿足圓C的方程，根據方程組有解說明兩圓有公共點，利用兩圓位置關系要求及點P滿足直線AB的方程，解出半徑的取值范圍.

解: (1) 當時,圓心為,半徑為,

當時,直線方程為,

所以,圓心到直線距離為,

因為,所以,直線與圓相離.

（2）設點，則，，

∵，∴，

，…………

由得，， ∴，

代入得， ，

化簡得，…………

因為為圓上任意一點，所以，………

又，解得，．…………………

(3)法一:直線的方程為，設()，，

因為點是線段的中點，所以，

又都在圓：上，所以

即……………………

因為該關于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點，

所以，，

又為線段上的任意一點，所以對所有成立．

而 在上的值域為，

所以所以．………

又線段與圓無公共點，所以，∴.

故實數的取值范圍為． ……………

法二:過圓心作直線的垂線，垂足為，設，，則則消去得， ，

直線方程為 點到直線的距離為

且又 為線段上的任意一點， …

，，

故實數的取值范圍為．