Question

【題目】把半橢圓（）與圓弧（）合成的曲線稱作“曲圓”，其中為的右焦點，如圖所示，、、、分別是“曲圓”與軸、軸的交點，已知，過點且傾斜角為的直線交“曲圓”于、兩點（在軸的上方）.

（1）求半橢圓和圓弧的方程；

（2）當點、分別在第一、第三象限時，求△的周長的取值范圍；

（3）若射線繞點順時針旋轉交“曲圓”于點，請用表示、兩點的坐標，并求△的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）；（3）

【解析】

（1）易得,,則,即可得到結果；

（2）得到周長為,根據范圍解得即可；

（3）設,,可知,

,代入橢圓方程解出,,再根據公式求面積即可

（1）易得,,則

橢圓：

圓弧：

（2）由（1）可知為,

點、分別在第一、第三象限,,

此時為腰長為2的等腰三角形,,

的周長

,

（3）設,，

由題意得,

即

當時,

①當時，將點坐標代入中得,,解得或（舍）,可得

令,則

當時,即時,

②當時,

綜上, △的面積的最小值為