Question

【題目】已知函數，

（1）當，求函數的值域；

（2）設函數，問：當取何值時，函數在上為單調函數；

（3）設函數的零點為，試討論當時，是否存在，若存在請求出的取值范圍．（）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）答案見解析.

【解析】

（1）時，，結合二次函數的性質及可得值域；

（2）化函數為分段函數形式，，討論兩個函數的對稱軸，根據對稱軸與的關系確定單調性；

（3）根據二次方程的根和二次函數的性質分類討論，可得的零點情況．

解：（1）當時，，

因為，所以．所以值域為；

（2），

當時，對稱軸是，

當時，函數遞減，

的對稱軸是，

因此函數在上遞減，所以在上遞減，

同理，當時，，，

因此在上，遞增，

在上，遞增，

所以在上遞增，

當時，，，

在上遞減，在上遞增，即在上不單調．

綜上所述或；

（3），

當時，恒成立，

，

當時，恒成立，

所以當時，無零點，不存在，

當，只有一個零點4，，

當時，

在兩個零點，且關于對稱，，

當時，

只有一個零點，，

當時，

在兩個零點，且關于對稱，，

當時，

有兩個零點，，

，．

（由和在時都是單調遞減的易得）