Question

【題目】已知橢圓C：（）的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)我們稱圓心在橢圓上運動，半徑為的圓是橢圓的“衛星圓”.過原點O作橢圓C的“衛星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A、B兩點，若直線、的斜率為、，當時，求此時“衛星圓”的個數.

Answer 1

【答案】(1)；(2)8個.

【解析】

(1)由條件可得，解出來即可；

(2) 設“衛星圓”的圓心為，由定義可得“衛星圓”的標準方程為，求其圓心到直線，直線的距離，整理可轉化為、是方程的兩個不相等的實數根，則，再加上，，解方程即可.

(1)∵橢圓C的兩焦點與短軸兩端點圍成面積為12的正方形，

∴由橢圓的定義和正方形的性質，可得，

解得.

又

∴橢圓C的標準方程為.

(2)設“衛星圓”的圓心為.

由“衛星圓”的定義，可得“衛星圓”的半徑為.

∴“衛星圓”的標準方程為.

∵直線：與“衛星圓”相切，

則由點到直線的距離公式可，

化簡得.

同理可得.

∴、是方程的兩個不相等的實數根，

∴，由，得，

將代入得，.

又∵“衛星圓”的圓心在橢圓C上，

∴代入橢圓方程中，可得.

解得，

.

當時，；

當時，，

∴滿足條件的點共8個，

∴這樣“衛星圓”存在8個.