Question

【題目】在平面直角坐標系中，①已知點，直線，動點P滿足到點Q的距離與到直線的距離之比為．②已知點是圓上一個動點，線段HG的垂直平分線交GE于P．③點分別在軸，y軸上運動，且，動點P滿足．

（1）在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡C的方程；

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

（2）設圓上任意一點A處的切線交軌跡C于M，N兩點，試判斷以MN為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出該定點坐標．若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）不管選條件幾，；（2）以為直徑的圓過定點.

【解析】

（1）若選①，則可設，根據距離之比可得滿足的方程，化簡后可得所求的方程.若選①，根據題設條件可得，由橢圓的定義可得所求的曲線方程.若選③，，設，則根據新老坐標的關系可求曲線的方程.

（2）當過點A且與圓O相切的切線斜率存在時，設切線方程為，根據它與圓相切可得，再設，可用的橫坐標表示以為直徑的圓，再聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理和前述等式化簡得到，從而可得以MN為直徑的圓過原點.注意討論斜率不存在的情況.

解：（1）若選①，

設，根據題意得，， 整理得.

所以動點P的軌跡C的方程為.

若選②，由得，

由題意得，所以，

所以點P的軌跡C是以H，E為焦點的橢圓，且，故

所以動點P的軌跡C的方程為.

若選③，設，故

因為，所以即，

將其代入得，所以動點P的軌跡C的方程為.

（2）當過點A且與圓O相切的切線斜率不存在時，切線方程為.

當切線方程為時，

以為直徑的圓的方程為.①

當切線方程為時，，

以為直徑的圓的方程為.②

由①②聯立，可解得交點為.

當過點A且與圓O相切的切線斜率存在時，設切線方程為，

則，故.

聯立切線與橢圓C的方程并消去y，得

.

因為

，

所以切線與橢圓C恒有兩個交點.

設，則，

因為，

所以

.

所以.

所以以MN為直徑的圓過原點.

綜上所述，以為直徑的圓過定點.