Question

【題目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ﹣ ，a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a= 時，證明：f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），

，

當a≤0，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當a＞0時，f′（x）= （x+ ）（x﹣ ），

①0＜a＜2時 ，

當 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

當 時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

②a=2時 ，當x∈（0，+∞）時f′（x）≥0，f（x）單調遞增；

③a＞2時， ，

當 單調遞增，

當 時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

綜上所述，

當a≤0時，函數f（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）內單調遞減；

當0＜a＜2時，函數f（x）在（0，1）內單調遞增，在1， ）內單調遞減，在（ ，+∞）內單調遞增；

當a=2時，函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增；

當a＞2時，函數f（x）在（0， ）內單調遞增，在（ ，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增．

（2）證明：由（1）知， 時，

= ，

設 ，

f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）則g′（x）= ≥0，

∴ ，當且僅當x=1時取等號，

又 ，設（x）=﹣5x2﹣4x+12，則（x）在x∈[1，2]單調遞減，

∴x0∈[1，2]使得x∈（1，x0）時（x）＞0，x∈（x0，2）時（x）＜0，

∴h（x）在（1，x0）上單調遞增，在（x0，2）上單調遞減，

∵ ，

∴ ，

即 對于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍確定導函數的符號，從而求出函數的單調區間；（2）求出f（x）﹣f′（x）的表達式，分別令 ，則f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），根據函數的單調性怎么即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．