Question

【題目】（1）已知數列，其中，且數列為等比數列，求常數p；

（2）設、是公比不相等的兩個等比數列，，證明：數列不是等比數列.

Answer 1

【答案】（1）p=2或p=3；（2）證明見解析.

【解析】

（1）第一問中，利用給定的等比數列，結合定義得到p的值；（2）根據設、是公比不相等的兩個等比數列，，那么可驗證前幾項是否是等比數列來判定結論.

（1）因為｛cn＋1－pcn｝是等比數列，

故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），將cn＝2n＋3n代入上式，得：

［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，

即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2

＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，

整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3.

（2）證明：設｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn.

為證｛cn｝不是等比數列只需證c22≠c1·c3.

事實上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，

c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），

由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零，

因此c22≠c1·c3，

故｛cn｝不是等比數列.

本試題主要是考查了等比數列的概念的運用.