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(本題滿分13分)
已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。
(1)討論f(x)的單調性。
(2)證明:(1+)(1+)…(1+)<e (n∈N*,n≥2,其中無理數e=2.71828…)
解:(理)(1)f′(x)= +a=………………………………1分
(i)若a=0時,f′(x)= >0x>0,f′(x)<0x<0
∴f(x)在(0,+∞)單調遞增,在(-∞,0)單調遞減。   …………………………3分
(ii)若時,f′(x)≤0對x∈R恒成立。
∴f(x)在R上單調遞減。                          ……………………………6分
(iii)若-1<a<0,由f′(x)>0>0<x<
由f′(x)<0可得x>或x<
∴f(x)在[,]單調遞增
在(-∞,],[上單調遞減。
綜上所述:若a≤-1時,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減!7分
(2)由(1)當a=-1時,f(x)在(-∞,+∞)上單調遞減。
當x∈(0,+∞)時f(x)<f(0)
∴ln(1+x2)-x<0 即ln(1+x2)<x
∴ln[(1+)(1+)……(1+)]
=ln[(1+)(1+)+…ln(1+)<++…+
=1-+-+…+=1-<1
∴(1+)(1+)……(1+)<e  …………………………………………13分
練習冊系列答案
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.函數f(x)=a4+5a2x2x6的導數為
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,則等于(   )
A.B.C.D.

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求函數的導數。

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