Question

已知集合A={x|ax²-x+1=0，a∈R，x∈R}．
（1）若A中只有一個元素，求a的值，并求出這個元素；（2）若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）集合的屬性是一個關于x的方程，且二次項的系數是字母，故A中只有一個元素時要考慮二次項系數為0的情況，此題應分為兩類求解，當a=0時與當a≠0時，分別轉化求出求a的值；
（2）A中至多有一個元素，限制詞中的至多說明A中可能只有一個元素或者沒有元素，故分為兩類求解，由（1）知A中只有一個元素時參數的取值范圍，再求出A是空集時參數的取值范圍，取兩部分的并集即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，本題分為兩類求解
當a=0時，A中只有一個元素，這個元素為1； …（3分）
當a≠0時，令△=1-4a=0⇒a=

1

4

，A中只有一個元素，這個元素為2．…（6分）
（2）A中只有一個元素說明A中有一個元素或者沒有元素，故
若A中只有一個元素，由（1）可知：a=0或a=

1

4

．…（8分）
若A中沒有元素，即A=∅，則

a≠0 △=1-4a＜0

⇒a＞

1

4

．…（11分）
綜上，a=0或a≥

1

4

．…（12分）

點評：本題考查集合中的參數取值問題，解題的關鍵是理解題意，將問題進行正確轉化，此類題易因為理解不全面，漏掉特殊情況致錯，（1）中易漏掉a=0時的情況，（2）中易漏掉空集這種情況，解題時要注意考慮全面，本題考查了推理判斷的能力及計算能力，是集合中綜合性較強的題，即考查了集合的概念，也考查了二次函數的性質．