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已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，)，且長軸長與短軸長的比是∶1.
 
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上在第一象限的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B，求證：直線AB的斜率為定值．

（1）＝1（2）見解析

解析(1)設橢圓C的方程為＝1(a>b>0)．由題意得 
解得a2＝4，b2＝2.所以橢圓C的方程為＝1.
(2)證明：由題意知，兩直線PA，PB的斜率必存在，設PB的斜率為k.又由(1)知，P(1，)，則直線PB的方程為y－＝k(x－1)．由 
得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0.
設A(xA，yA)，B(xB，yB)，
則xB＝1·xB＝，
同理可得xA＝，
則xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝.
所以kAB＝＝為定值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F(,0),其短軸上的一個端點到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N.
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的橢圓C的一個焦點為F(4,0),長軸端點到較近焦點的距離為1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)為橢圓上不同的兩點.
(1)求橢圓C的方程.
(2)若x1+x2=8,在x軸上是否存在一點D,使||=||?若存在,求出D點的坐標;若不存在,說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F2斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為，求證：為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.
（1）求實數的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點的縱坐標為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，直線，拋物線，已知點在拋物線上，且拋物線上的點到直線的距離的最小值為．

（1）求直線及拋物線的方程；
（2）過點的任一直線（不經過點）與拋物線交于、兩點，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，， ．問：是否存在實數，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

拋物線的方程為，過拋物線上一點()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(三點互不相同)，且滿足（且）．
（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）設直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；
（3）當=1時，若點的坐標為，求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數k，直線(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒過定點F.設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2＋.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(m，n)是橢圓C上的任意一點，圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置關系．

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