Question

【題目】已知直線，若存在實數使得一條曲線與直線有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”，下面給出四條曲線方程：

①，

②，

③，

④，

其中，直線的絕對曲線有______.（填序號）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

易知，直線恒過定點，又的圖像是以為端點的兩條射線組成的折線，直線與曲線①至多有一個交點，故曲線①不是直線的絕對曲線，

由在拋物線上，設直線與曲線②的另一個交點為，，

則，若，

則 ，

設，則，，

由函數在上的連續性，知方程在區間上有實數根，

即存在使得，故曲線②為直線的絕對曲線，

因為直線被曲線③截得的弦（即圓的直徑）長恒為2，取，

所以，.故曲線③也為直線的絕對曲線，

易知，定點也在曲線④上，且當時，直線被曲線④截得的弦長，

當由0逐漸變少到時（此時，由0逐漸變大到），

由圖像易知弦長先由2逐漸變少到0，再由0逐漸變大到2，

可知，存在實數，，使得，故曲線④也是直線的絕對曲線.

綜上，知直線的絕對曲線有②③④.