Question

【題目】從左到右依次寫出1到10000的全部正整數，然后去掉那些能被5或7整除的數，將剩下的數連成一排組成一個新數。試求：

（1）新數的位數；

（2）新數被11除的余數。

Answer 1

【答案】（1）26667；（2）見解析

【解析】

（1）顯然，剩下的數被35除的余數為1，2，3，4，6，8，9，11，12，13，16，17，18，19，22，23，24，26，27，29，31，32，33，34，依次記為，在中，剩下7個數，依次記為，在中，，知剩下個數，依次記為，在中，由，知剩下個數，依次記為，在中，由，知剩下個數，依次記為.綜上，新數的位數為.

（2）首先有兩個結論：

（i）若均為位正整數，則.

（ii）由正整數組成的任意等差數列中的連續11項之和能被11整除，

顯然，

，

.

設新數為，

其中， ，

，

，

，

所以，.