Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，若函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）

【解析】

（1）求得函數的導數，分和，兩種情況討論，即可求得函數的單調區間；

（2）①當時，根據，求得在上只有一個零點；②當時，分、和，三種情況討論，結合函數的單調性和零點的存在定理，即可求解.

（1）由題意，函數的定義域為，

且，

①當時，令，即.解得；

令，即，解得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增；

②當時，由，得或

（i）若，則，所以在上單調遞增；

（ii）若，則，令，可得或；

令，解得，

所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減；

（iii）若，則，令，解得或；

令，解得，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）①當時，函數，令得，

又知當時，，當時，，

此時在上有且只有一個零點；

②當時，

（i）當時，由（1）知在上單調遞增，，

此時在上有且只有一個零點；

（ii）當時，由（1）結合的單調性，，只需討論的符號，

當時，由，可得在上有且只有一個零點；

當時時，由，可得在上無零點；

（iii）若由（1）結合的單調性，，

，此時在上有且只有一個零點，

綜上所述，實數的取值范圍.