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【題目】袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個，從中任取1只，有放回地抽取3次．

求：（1）3只全是紅球的概率；

（2）3只顏色全相同的概率；

（3）3只顏色不全相同的概率。

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

本題考查等可能事件的概率，相互獨立事件同時發生的概率，本題解題的關鍵是看清條件中所給的是有放回的抽樣，注意區別有放回和無放回兩種不同的情況，本題是一個中檔題目

（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，從袋中摸球，摸到紅球的概率是1/2

，三次有放回到摸球可以看做是三次獨立重復試驗，根據概率公式得到結果．

（2）三只顏色全相同，則可能抽到紅色和黃色兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據做出的每個球被抽到的概率和相互獨立事件同時發生的概率和互斥事件的概率，得到結果．

（3）根據二問做出的結果，三只顏色不全相同，是三只顏色全部相同的對立事件，用對立事件的概率得到結果，或者是用樹狀圖列出的結果求出比值．

解：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均為．

Ⅰ、3只全是紅球的概率為P1＝··＝．

Ⅱ、3只顏色全相同的概率為P2＝2·P1＝2·＝．

Ⅲ、3只顏色不全相同的概率為P3＝1－P2＝1－＝

練習冊系列答案
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【題目】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環數大于6環，且甲射中10，9，8，7環的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的數學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術．

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【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，若函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）直線與軸的交點為，經過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的傾斜角.

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【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門對100名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100的有40人；在45名女性駕駛員中，平均車速不超過100的有25人.

（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100的人與性別有關.

平均車速超過100人數

平均車速不超過100人數

合計

男性駕駛員人數

女性駕駛員人數

合計

（2）以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望.

參考公式與數據：，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】江蘇省從2021年開始，高考取消文理分科，實行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目，某校為了解高一年級學生對“1”的選課情況，隨機抽取了100名學生進行問卷調查，如下表是根據調查結果得到的2×2列聯表.

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

50

b

m

女生

c

20

40

總計

100

（1）求m，b，c的值；

（2）請你依據該列聯表判斷是否有99.5%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由.

附：對于2×2列聯表

類1

類2

合計

類A

a

b

a＋b

類B

c

d

c＋d

合計

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

有，其中.

P()

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M－數列”.

（1）已知等比數列{an}滿足：，求證:數列{an}為“M－數列”；

（2）已知數列{bn}滿足:，其中Sn為數列{bn}的前n項和．

①求數列{bn}的通項公式；

②設m為正整數，若存在“M－數列”{cn}，對任意正整數k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．

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【題目】已知函數.

（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的最大值；

（2）當，確定函數零點的個數；

（3）若存在正實數對，使得當時，能成立，求實數的取值范圍.

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【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本�！痹谥腥A民族幾千年綿延發展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發動機進行科技改造，根據市場調研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數據統計如下：

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據下列表格中的數據，比較當時模型①、②的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“東方紅”款汽車發動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫回歸效果的相關指數，.）

（2）為鼓勵科技創新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發動機的熱效率大幅提高，服從正態分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發動機的熱效率不超過，不予獎勵；若發動機的熱效率超過但不超過，每臺發動機獎勵2萬元；若發動機的熱效率超過，每臺發動機獎勵5萬元.求每臺發動機獲得獎勵的數學期望.

（附：隨機變量服從正態分布，則，.）

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