Question

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們的一個交點，，記橢圓和雙曲線的離心率分別，則的最小值是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a，雙曲線實軸為2m，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結合雙曲線和橢圓的定義，以及余弦定理推出a2+3m2=4c2，進而求出e12+e22的最小值

由題意設焦距為2c，橢圓長軸長為2a，雙曲線實軸為2m，

令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2m，由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|=m+a，|PF2|=a-m，又∠F1PF2＝60°，

根據余弦定理得 ：|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2，

可得（m+a）2+（a-m）2-（m+a）（a-m）=4c2，整理得a2+3m2=4c2，

即 ，可得 ，

則

當且僅當時，取等號，故選A .