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已知函數

(1)若上單調遞增,求的取值范圍;

(2)若定義在區間D上的函數對于區間上的任意兩個值總有以下不等式成立,則稱函數為區間上的 “凹函數”.試證當時,為“凹函數”.

 

【答案】

(1)(2)理解凹函數的定義 ,然后結合中點函數值與任意兩點的函數值和的關系式作差法加以證明。

【解析】

試題分析:解(1)由,得

函數為上單調函數. 若函數為上單調增函數,則上恒成立,即不等式上恒成立. 也即上恒成立.

,上述問題等價于,而為在上的減函數,則,于是為所求.

(2)證明:由

 

 ①

, ∴ ②

  ∴,

 ∴ ③ 

由①、②、③得

,從而由凹函數的定義可知函數為凹函數

考點:新定義和函數性質的運用

點評:結合均值不等式的思想,以及函數的解析式來求解,屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數

(1)若上為單調減函數,求實數取值范圍;

(2)若在[-3,0]上的最大值和最小值。

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本小題滿分12分)已知函數(1)若處取得極值,求函數的單調區間。(2)若存在時,使得不等式成立,求實數的取值范圍。

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科目:高中數學 來源:2013-2014學年天津市薊縣高三上學期期中考試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

【題文】已知函數.

(1)若處取得極大值,求實數的值;

(2)若,求在區間上的最大值.

 

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年浙江省高三第一次月考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數.

(1)若上是增函數,求實數的取值范圍;

(2)若的極值點,求上的最小值和最大值.

 

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科目:高中數學 來源:2011年湖南省高三第一次學情摸底考試數學卷 題型:解答題

(本題滿分13 分)

    已知函數

   (1)若在的圖象上橫坐標為的點處存在垂直于y 軸的切線,求a 的值;

   (2)若在區間(-2,3)內有兩個不同的極值點,求a 取值范圍;

   (3)在(1)的條件下,是否存在實數m,使得函數的圖象與函數的圖象恰有三個交點,若存在,試出實數m 的值;若不存在,說明理由.

 

 

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