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【題目】已知函數.

（1）求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）若在上有解，求的取值范圍；

（3）設是函數的導函數，是函數的導函數，若函數的零點為，則點恰好就是該函數的對稱中心.試求的值.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）先求導數，根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式得方程，

（2）先化簡不等式，再利用參變分離法將二次不等式有解問題轉化為對應函數最值問題，最后根據二次函數最值求結果，

（3）根據對稱中心性質得，再利用對稱性求和.

解：（1）因為

所以所求切線的斜率

又因為切點為

所以所求的切線方程為

（2）因為，所以

因為在上有解，

所以不小于在區間上的最小值.

因為時，，

所以的取值范圍是.

（3）因為，所以.

令可得，

所以函數的對稱中心為，

即如果，則，

所以.

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知實數，函數，．

（1）討論函數的單調性；

（2）若是函數的極值點，曲線在點，處的切線分別為，且在軸上的截距分別為．若，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當直線l的傾斜角為45°時，.

（1）求拋物線C的方程.

（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正四棱錐中，二面角為，為的中點.

（1）證明：；

（2）已知為直線上一點，且與不重合，若異面直線與所成角為，求

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調整眼及頭部的血液循環，調節肌肉，改善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后三組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以上的人數；

（2）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調查，得到下表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系？

（3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人，進一步調查他們良好的護眼習慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學生人數為X，求X的分布列和數學期望.

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某控制器中有一個易損部件，該部件由兩個電子元件按圖1方式連接而成.已知這兩個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布，且各個元件能否正常工作相互獨立.（一個月按30天算）

（1）求該部件的使用壽命達到一個月及以上的概率；

（2）為了保證該控制器能穩定工作，將若干個同樣的部件按圖2連接在一起組成集成塊.每一個部件是否能正常工作相互獨立.某開發商準備大批量生產該集成塊，在投入生產前，進行了市場調查，結果如下表：

集成塊類型

成本

銷售金額

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

其中是集成塊使用壽命達到一個月及以上的概率，為集成塊使用的部件個數.報據市場調查，試分析集成塊使用的部件個數為多少時，開發商所得利潤最大？并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，

（1）證明：平面平面；

（2）當平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線與平面所成角正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其定義域為.（其中常數，是自然對數的底數）

（1）求函數的遞增區間；

（2）若函數為定義域上的增函數，且，證明: .

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