Question

【題目】已知橢圓經過點，離心率為

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若以，為鄰邊的平行四邊形的頂點在橢圓上，求證：平行四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）由題意可得關于的方程組，求得的值，則橢圓方程可求；
（2）聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系及四邊形是平行四邊形，可得點坐標，把點坐標代入橢圓方程，得到，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形的面積為定值．

解：（1）因為橢圓過點，代入橢圓方程，可得①，

又因為離心率為，所以，從而②，

聯立①②，解得，，

所以橢圓為；

（2）把代入橢圓方程，

得，

所以，

設，，則，

所以，

因為四邊形是平行四邊形，

所以，

所以點坐標為.

又因為點在橢圓上，

所以，即.

因為

.

又點到直線的距離，

所以平行四邊形的面積

，

即平行四邊形的面積為定值.