Question

（2012•海淀區一模）某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的范圍是[0，100]，樣本數據分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方圖中x的值；
（Ⅱ）如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿；
（Ⅲ）從學校的新生中任選4名學生，這4名學生中上學所需時間少于20分鐘的人數記為X，求X的分布列和數學期望．（以直方圖中新生上學所需時間少于20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少于20分鐘的概率）

Answer 1

分析：（I）由題意，可由直方圖中各個小矩形的面積和為1求出x值．
（II）再求出小矩形的面積即上學所需時間不少于1小時組人數在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此組的人數即可．
（Ⅲ）求出隨機變量X可取得值，利用古典概型概率公式求出隨機變量取各值時的概率，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出期望．

解答：解：（Ⅰ）由直方圖可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.0125．
（Ⅱ）新生上學所需時間不少于1小時的頻率為：0.003×2×20=0.12，
因為600×0.12=72，
所以600名新生中有72名學生可以申請住宿．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4．
由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為

1

4

，
P(X=0)=(

3

4

)4=

81

256

，
P(X=1)=

C

1 4

(

1

4

)(

3

4

)3=

27

64

，
P(X=2)=

C

2 4

(

1

4

)2(

3

4

)2=

27

128

，
P(X=3)=

C

3 4

(

1

4

)3(

3

4

)=

3

64

，
P(X=4)=(

1

4

)4=

1

256

．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	81 256	27 64	27 128	3 64	1 256

…（12分）EX=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．（或EX=4×

1

4

=1）
所以X的數學期望為1．…（13分）

點評：本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的期望等，解題的關鍵是理解直方圖中各個小矩形的面積的意義及各個小矩形的面積和為1，考查了識圖的能力．