Question

【題目】已知拋物線和的焦點分別為，點且為坐標原點）．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點的直線交的下半部分于點，交的左半部分于點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

（1）根據為坐標原點），利用坐標運算即可求出，寫出拋物線方程；（2）聯立直線與拋物線方程求出的坐標，寫出弦長，求出到直線 的距離，寫出面積，利用換元法求其最值即可.

（1）F1（1，0），，

∴，，

∴p=2，

∴拋物線C2的方程為x2=4y；

（2）設過點O的直線為y=kx，

聯立得（kx）2=4x，求得M（，），

聯立得N（4k，4k2）（k＜0），

從而，

點P到直線MN的距離，

進而

=，

令，

有S△PMN=2（t-2）（t+1），

當t=-2時k=-1，取得最小值．

即當過原點直線為y=-x，

△PMN面積的面積取得最小值8．