Question

已知為函數圖象上一點，O為坐標原點，記直線的斜率．

（1）若函數在區間上存在極值，求實數m的取值范圍；

（2）當 時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）在函數定義域范圍內求函數的極值，則極值點在內；（2）首先根據條件分離出變量，由轉化成求的最小值（利用二次求導判單調性）；（3）結合第（2）問構造出含

的不等關系，利用裂項相消法進行化簡求和.

試題解析：（1）由題意，               1分

所以                    2分

當時，；當時，．

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

故在處取得極大值．                       3分

因為函數在區間（其中）上存在極值，

所以，得．即實數的取值范圍是．         4分

（2）由得，令，

則．                            6分

令，則，

因為所以,故在上單調遞增．        7分

所以,從而

在上單調遞增,

所以實數的取值范圍是．                     9分

（3）由(2) 知恒成立,

即          11分

令則，        12分

所以， ，  ,．

將以上個式子相加得：

，

故．                14分

考點：1.函數極值、最值的求法；2.函數單調性的判定；3.恒成立問題的轉化.