【題目】如圖，四棱臺
中， 
底面
，平面
平面
為
的中點.
（1）證明： 
；
（2）若
，且
，求二面角
的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：（1）先根據平幾知識求
，再根據面面垂直性質定理得
平面
即得
；（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用解方程組得各面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系確定二面角
的正弦值.
試題解析：（1）證明：連接
，
∵
為四棱臺，四邊形
四邊形
，
∴
，由
得， 
，
又∵
底面
，∴四邊形
為直角梯形，可求得
，
又
為
的中點，所以
，
又∵平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
平面
，
∴
；
（2）解：
在
中， 
，利用余弦定理可求得， 
或
，由于
，所以
，從而
，知
，
如圖，以
為原點建立空間直角坐標系， 
，
由于
平面
，所以平面
的法向量為
，
設平面
的法向量為
， 
， 
，
設
，所以
，
，
∴
，
即二面角
的正弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，E為棱CC1的中點，點M在正方形BCC1B1內運動，且直線AM∥平面A1DE，則動點M的軌跡長度為______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，得到關于
的方程組，解出即可；
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，令
， 利用導數研究其單調性可得
，
從而證明
.
試題解析：（（1）由題意
，所以
，
又
，所以
，
若
，則
，與
矛盾，故
， 
.
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，
令
，
，
令
當
時， 
， 
單調遞減，且
；
當
時， 
， 
單調遞增；且
，
所以
在
上當單調遞減，在
上單調遞增，且
，
故
，
故
.
【點睛】本題考查利用函數的切線求參數的方法，以及利用導數證明不等式的方法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
， 
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）在曲線
上取兩點
， 
與原點
構成
，且滿足
，求面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司對營銷人員有如下規定：
①年銷售額
(萬元)在8萬元以下，沒有獎金；
②年銷售額
(萬元)， 
時，獎金為
萬元，且
， 
，且年銷售額越大，獎金越多；
③年銷售額超過64萬元，按年銷售額的10%發獎金．
(1)求獎金y關于x的函數解析式；
(2)若某營銷人員爭取獎金
(萬元)，則年銷售額
(萬元)在什么范圍內？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】濟南新舊動能轉換先行區,承載著濟南從“大明湖時代”邁向“黃河時代”的夢想,肩負著山東省新舊動能轉換先行先試的重任,是全國新舊動能轉換的先行區.先行區將以“結構優化質量提升”為目標,通過開放平臺匯聚創新要素,堅持綠色循環保障持續發展,建設現代綠色智慧新城.2019年某智能機器人制造企業有意落戶先行區,對市場進行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000(萬元),每年生產機器人
(百個),需另投人成本
(萬元),且
,由市場調研知,每個機器人售價6萬元,且全年生產的機器人當年能全部銷售完.
(1)求年利潤
(萬元)關于年產量(百個)的函數關系式;(利潤=銷售額-成本)
(2)該企業決定:當企業年最大利潤超過2000(萬元)時,才選擇落戶新舊動能轉換先行區.請問該企業能否落戶先行區,并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面六個句子中，錯誤的題號是________.
①周期函數必有最小正周期；
②若
則
，
至少有一個為
；
③
為第三象限角，則
；
④若向量與的夾角為銳角，則
；
⑤存在，
，使
成立；
⑥在
中，O為內一點，且
，則O為的重心.
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