Question

【題目】已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0與直線x＋2y－3＝0相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值．

Answer 1

【答案】解：設點P、Q的坐標分別為（x1 ， y1）、（x2 ， y2）．
由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即 .①
聯立 得5x2＋10x＋4m－27＝0，②
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝ . ③
∵P、Q是在直線x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝ （3－x1）· （3－x2）＝ [9－3（x1＋x2）＋x1x2]．
將③代入，得y1y2＝ . ④
將③④代入①，解得m＝3.代入方程②，檢驗Δ>0成立，
∴m＝3
【解析】將直線和圓進行聯立，利用根與系數之間的關系建立條件方程，利用韋達定理和兩向量垂直的性質可以求出m的值來。
【考點精析】掌握數量積判斷兩個平面向量的垂直關系是解答本題的根本，需要知道若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．