Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設與交點為，連接，可知點為的中點，利用等腰三角形三線合一的性質可得出，由菱形的性質可得出，利用線面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）設，可求得，，利用勾股定理可求得，然后以點為坐標原點，方向為軸正方向，方向為軸正方向建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）記與交點為，連接，

，為的中點，，

又四邊形為菱形，.

，平面，

又平面，所以，平面平面；

（2）設，，，

又，所以，所以，.

因為，所以在中，由勾股定理得，

即，解得，，

由（1）知，平面，平面，平面平面.

以為原點，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立如圖空間直角坐標系.則、、、，.，

，，.

設平面的法向量為，由，則，

令，解得，，即，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.