Question

【題目】已知函數.

(1) 如果，求函數的值域；

(2) 求函數＝的最大值；

(3) 如果對不等式中的任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 最大值為1. (3)

【解析】

(1)令，則可利用二次函數的性質求函數的值域，注意換元后的范圍.

(2)去掉絕對值符號后可得，分別求出各自范圍上函數值的取值范圍可得的最大值．

(3)原不等式等價于在上恒成立，換元后利用參變分離可求的取值范圍．

解：令，

(1) .

因為，所以 ，所以 的值域為．

(2) ，

當時，；當時，，

所以

即

當時，的最大值為1；當時，.

綜上，當時，取到最大值為1.

(3) 由，得.

因為，所以，

所以 對一切恒成立．

① 當時，；

②時，恒成立，即.

因為 ，當且僅當，即時取等號．

所以的最小值為.

綜上，.