Question

【題目】如圖，已知多面體中，平面，平面，，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求多面體的體積；

（3）求平面和平面所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）．

【解析】

（1）取中點，根據已知，結合三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理和性質定理可以證明出，再根據線面垂直的性質、線面垂直的判定定理，結合等邊三角形的性質進行證明即可；

（2）利用多面體的體積是兩個三棱錐的體積之和，結合三棱錐的體積公式進行求解即可；

（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

（1）取中點，連接，

因此有且，

因為平面，平面，所以，由已知可知：，

所以且，

因此為平行四邊形，∴，

因為平面，平面，所以，

因為，所以三角形是等邊三角形，而是的中點，

所以，而，平面，

因此平面，∴平面；

（2）因為平面，平面，所以，

因此，因此有，

因為平面，平面，所以，

因此，

由平面，平面，所以，

因此，

由（1）知：，所以，連接，

；

（3）建立如下圖的所示的空間直角坐標系，

,

設平面的法向量為：，

，

因此有，

平面的法向量為：,

設平面和平面所成的銳二面角的大小為，

則有.