Question

【題目】如圖1，四邊形是等腰梯形，，，，為的中點.將沿折起，如圖2，點是棱上的點.

（1）若為的中點，證明：平面平面；

（2）若，試確定的位置，使二面角的余弦值等于.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為，連結，，易知，可得平面，從而，取中點，連結，，易證，，，四點共面，由，可得，即可證明平面，從而可證明平面平面；

（2）先證明互相垂直，進而分別以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，可得到點坐標，進而求得平面和平面的法向量，由可求出的值.

（1）由題意，且，所以四邊形是平行四邊形，

又，，所以是正三角形，是菱形，

取的中點為，連結，，易知是正三角形，則，又，則平面，所以；

取中點，連結，，則，所以，，，四點共面，

又，則，又，所以平面.

又平面，∴平面平面.

（2）因為，，所以，又且，則以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，設，

則，易知平面的法向量可取，

設平面的法向量為，又，，

∴，則可取，

由題意，解得，故.