Question

【題目】為評估設備生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

經計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.

（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）；①；②；③，評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級.

（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.

（ⅰ）若從設備的生產流水線上隨意抽取件零件，求恰有一件次品的概率；

（ⅱ）若從樣本中隨意抽取件零件，計算其中次品個數的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）該設備的性能為丙級別；（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析，.

【解析】

（1）利用條件，根據表格中的數據驗證隨機變量是否滿足①②③中的不等式，即可得出結論；

（2）（i）計算出從設備的生產流水線上任取一件為次品的概率，然后利用獨立重復試驗的概率公式可計算出結果；

（ii）由題意得出隨機變量的可能取值，根據超幾何分布的知識得出其分布列，由此可計算出隨機變量的數學期望值.

（1）由題意知道：，，

，，，.

所以由圖表知道：，

，

所以該設備的性能為丙級別；

（2）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有件，大于的零件有件，共計件.

（ⅰ）從設備的生產流水線上任取一件，取到次品的概率為，

所以恰有一件次品的概率為；

（ⅱ）從件樣品中任意抽取件，次品數可能取值為、、，

，，.

所以，隨機變量的分布列為

故.