Question

【題目】已知，函數.

（1）若，證明：函數在區間上是單調增函數；

（2）求函數在區間上的最大值；

（3）若函數的圖像過原點，且的導數，當時，函數過點的切線至少有2條，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時,最大值為；當時,最大值為（3）

【解析】

（1）由題,利用導函數求單調區間即可；

（2）利用導數可以推導得到在區間上是減函數,在區間上是增函數,則當時,的最大值為和中的最大值,作差可得,設,再次利用導數推導的單調性,進而得到上的最大值；

（3）由題可得,設切點為,則處的切線方程為：,將代入可得,則將原命題等價為關于的方程至少有2個不同的解,設,進而利用導函數判斷的單調性,從而求解即可

（1）證明：,則,

當時,,

,即此時函數在區間上是單調增函數.

（2）由（1）知,當時,函數在區間上是單調增函數,

當時,,則,,則在區間上是單調減函數；

同理,當時,在區間上是單調增函數,在區間上是單調減函數；

即當,且時,在區間上是減函數,在區間上是增函數,

則當時,的最大值為和中的最大值，

,

令,

則,

在上為增函數,

,

當時,,即,此時最大值為；

當時,,即,此時最大值為.

（3）,

,

的圖像過原點,

,即,則,

設切點為,則處的切線方程為：,

將代入得,

即（※）,

則原命題等價為關于的方程（※）至少有2個不同的解,

設,

則,

令,,

,

當和時,,此時函數為增函數；

當時,,此時函數減函數,

的極大值為,

的極小值為,

設,則,則原命題等價為,即對恒成立,

由得,

設,則,

令,則,,當時,；當時,,

即在上單調遞增,在上單調遞減,

的最大值為,,

故,

綜上所述,當時,函數過點的切線至少有2條,此時實數m的值為