Question

【題目】已知點的序列，其中.（是線段的中點，是線段的中點，……，是線段的中點，…）

（1）寫出與之間的關系；

（2）設，計算，由此推測數列的通項公式，并且加以證明；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據中點坐標公式，求得與之間的關系.

（2）根據，猜想，然后利用數學歸納法進行證明.

（3）由（2）利用累加法求得的表達式并根據等比數列前項和公式求和，進而求得.

（1）依題意，點的序列，其中.（是線段的中點，是線段的中點，……，是線段的中點，…）.由中點坐標公式得：.

（2）.

猜想，.

用數學歸納法證明：

①當時，，等式成立.

②假設當時等式成立，即，

那么當時，

.

所以當時等式也成立，根據①和②，對，等式都成立.

（3）由與，得

，，，…，.

由于，以上各式相加，得.

而是以為公比的等比數列，.

.