Question

為了降低能損耗，最近上海對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．

Answer 1

（1）40，；（2）當隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元．

試題分析：（1）根據建筑物每年的能消耗費用C與隔熱層厚度x滿足關系，令即可得的值，可得建筑物每年的能消耗費用C與隔熱層厚度x滿足關系式，把隔熱層建造費用與20年的能耗費用相加再化簡既得f(x)的表達式（注意不要忘記的取值范圍）；（2）把（1）中f(x)的表達式化成重要不等式的形式，利用重要不等式求f(x)的最小值和取得最小值時的取值.
試題解析：(1)當x＝0時，C(0)＝8，即＝8，所以k＝40，所以C(x)＝，
所以f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．          6分
(2)f(x)＝2(3x＋5)＋－10≥2－10＝70，
當且僅當2(3x＋5)＝，即x＝5時，等號成立，因此最小值為70，      14分
所以，當隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元．