Question

【題目】設，.

（1）令，求的單調區間；

（2）當時，證明.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數單調遞增區間為；當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出的導數，，分討論，分別由求得 的范圍，可得函數增區間，求得 的范圍，可得函數的減區間；（2）只要證明即可，由（1）知，，證明在即可.

試題解析：（1）由,.

可得.

當時, 時，，函數單調遞增；

當時，時，，函數單調遞增；時，，函數單調遞減；

所以，當時，函數單調遞增區間為；當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）只要證明對任意，.

由（1）知，在取得最大值，

且.

令，，

則在上單調遞增，.

所以當時，即.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、利用導數證明不等式，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.