Question

【題目】已知橢圓，四點、、、中恰有三點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓的右頂點，作一條平行于的直線交橢圓于、兩點，記直線和直線的斜率分別為、，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值為.

【解析】

（1）由橢圓的對稱性知，點、在橢圓上，再說明點不在橢圓上，將點、的坐標代入橢圓方程，可得出、的值，可求得橢圓的方程；

（2）計算出直線的斜率為，可設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合斜率公式可求得為定值，進而可得出結論.

（1）由于、兩點關于軸對稱，故由題設知橢圓經過、兩點.

又由知，橢圓不經過點，所以點在橢圓上.

因此，解得，故橢圓的方程為；

（2），，，故設直線的方程為，

設點、，由可得，

，得且，

由韋達定理得，

所以（定值）.