Question

【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知曲線C1的參數方程為 ，（α為參數，且α∈[0，π）），曲線C2的極坐標方程為ρ=﹣2sinθ．
（1）求C1的極坐標方程與C2的直角坐標方程；
（2）若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM||PN|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：消去參數可得x2+y2=1，因為α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，

所以曲線C1是x2+y2=1在x軸上方的部分，

所以曲線C1的極坐標方程為ρ=1（0≤θ≤π）．

曲線C2的直角坐標方程為x2+（y+1）2=1

（2）

解：設P（x0，y0），則0≤y0≤1，直線l的傾斜角為α，

則直線l的參數方程為： （t為參數）．

代入C2的直角坐標方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，

由直線參數方程中t的幾何意義可知|PM||PN|=|1+2y0|，

因為0≤y0≤1，所以|PM||PN|=∈[1，3]

【解析】（1）求出C1的普通方程，即可求C1的極坐標方程，利用極坐標方程與直角坐標方程的互化方法得出C2的直角坐標方程；（2）直線l的參數方程為： （t為參數），代入C2的直角坐標方程得（x0+tcosα）2+（y0+tsinα+1）2=1，由直線參數方程中t的幾何意義可知|PM||PN|=|1+2y0|，即可求|PM||PN|的取值范圍．