Question

如圖，在直三棱柱中，，．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)若為的中點，求與平面所成的角．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）所成的角為．

解析試題分析：本題主要考查空間線、面位置關系，線面所成的角等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力.第一問，先利用正方形得對角線互相垂直，再利用線面垂直得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理得到線面垂直平面；第二問，先由已知條件判斷是正三角形，由第一問的結論可知，是與平面所成的角，在直角中，得出，所以，即與平面所成的角為．
試題解析：(Ⅰ) 由題意知四邊形是正方形，故．
由平面，得．
又，所以平面，故．
從而得平面．        7分
(Ⅱ)設與相交于點，則點是線段的中點．
連接，由題意知是正三角形．
由，是的中線知：與的交點為重心，連接．
由(Ⅰ)知平面，故是在平面上的射影，于是是與平面所成的角．
在直角中，， ，
所以．
故，即與平面所成的角為．    15分
考點：1.線面垂直的判定定理；2.線面垂直的性質；3.中線的性質；4.直角三角形中求正弦.