Question

【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量單位：克，重量分組區間為,,,，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖如圖．

（1）求的值，并根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的眾數與平均值；

（2）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量內的小球個數為，求的分布列和數學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）

Answer 1

【答案】（1）,眾數約為20，平均值為24.6（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積（頻率）之和為1，可計算出,眾數取頻率最大即矩形最高的那個矩形的中點橫坐標，平均值用各矩形中點值乘頻率相加即得；（Ⅱ）的可能取值為、、、，利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為，因此有，從而可得分布列，最后由期望公式可計算出期望．

試題解析：（Ⅰ）由題意，得，

解得；

又由最高矩形中點的的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數約為20（克）

而個樣本小球重量的平均值為： （克）

故由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為克；

（Ⅱ）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為

則. 的可能取值為、、、，

， ，

， .

的分布列為：

.（或者）