Question

【題目】圓O：x2+y2＝9上的動點P在x軸、y軸上的射影分別是P1，P2，點M滿足．

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）點A（0，1），B（0，﹣3），過點B的直線與軌跡C交于點S，N，且直線AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求證：kASkAN為常數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設，，，根據向量關系，用的坐標表示的坐標后，將的坐標

代入圓的方程可得的軌跡方程；（2）設出直線的方程并代入橢圓方程，利

用韋達定理以及斜率公式得為常數.

（1）設P（x0，y0），M（x，y），則＝（x0，0），＝（0，y0），

由 ．得

代入x02+y02＝9，所以點M的軌跡C的方程為.

（2）當SN的斜率不存在時，AS，AN的斜率也不存在，故不適合題意；

當SN的斜率存在時，設斜率為k，

則直線SN的方程為y＝kx﹣3代入橢圓方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0k2＞2

設S（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，

則kASkAN＝ ＝，

故kASkAN為常數.