Question

【題目】設函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求整數的值，使函數在區間上有零點．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1

【解析】

（1）求出原函數的導函數，得到f'（1），代入直線方程的點斜式得答案；

（2）由f（x）＜ax對x∈（﹣∞，0）恒成立，分離參數a，可得a＜xex，構造函數g（x）＝xex，利用導數求其最小值可得a的取值范圍；

（3）由F（x）＝0，得，當x＜0時方程不成立，可得F（x）的零點在（0，+∞）上，由函數單調性可得方程僅有一解x0，再由零點判定定理求得整數n的值．

（1），

∴，∴所求切線方程為，即.

（2）∵，對恒成立，∴對恒成立.

設，令，得，令得，

∴在上遞減，在上遞增，

∴，∴.

（3）令得，當時，，

∴的零點只能在上，

在上大于0恒成立，∴函數在上遞增.

∴在上最多有一個零點.

∵，

由零點存在的條件可得在上有一個零點，且，

所以