Question

（本題滿分15分 ）已知函數．
（1）求函數的最大值；
（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若，求證：．

Answer 1

（1）在處取得最大值，且最大值為0．（2）． （3）見解析。

(1)先求出,然后求導確定單調區間，極值，最值即可.
(2)本小題轉化為在上恒成立，進一步轉化為,然后構造函數，利用導數研究出h(x)的最大值，再利用基礎不等式可知,從而可知a的取值范圍.
（1），則．…………2分
當時，，則在上單調遞增；
當時，，則在上單調遞減，
所以，在處取得最大值，且最大值為0．     ………………………4分
（2）由條件得在上恒成立．           ………………………6分
設，則．
當時，；當時，，所以，．
要使恒成立，必須．                  ………………………8分
另一方面，當時，，要使恒成立，必須．
所以，滿足條件的的取值范圍是．            ………………………10分
（3）當時，不等式等價于．……12
令，設，則，
在上單調遞增，，
所以，原不等式成立．          ………………15分