Question

【題目】定義運算“”：對于任意，（等式的右邊是通常的加減乘運算）．若數列的前n項和為，且對任意都成立．

（1）求的值，并推導出用表示的解析式；

（2）若，令，證明數列是等差數列；

（3）若，令，數列滿足，求正實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）直接利用信息的應用和賦值法的應用求出函數的關系式的表達式；

（2）利用構造法對和數列的關系式進行變換，進一步利用定義求出數列的通項公式；
（3）利用（1）和（2）的結論，進一步函數的單調性和極限的應用求出參數的取值范圍．

（1）∵，
．
令，得，
．
當時，有．
，

．
（2），
，整理得．
．
∴數列是以首項為1、公差為的等差數列．
（3）結合（1），且，
，即．
．
當時，，此時，，總是滿足；
當時，，此時，是等比數列．
．
．

若時，數列是單調遞增數列，且時，，不滿足．
若時，， 數列是單調遞減數列，故又，同樣恒有成立；
若時，，數列是單調遞增數列，．
由，即此時當時，滿足．
綜上，所求實數的取值范圍是.