Question

【題目】設集合.若的非空子集中奇數的個數大于偶數的個數，則稱是“好的”.試求的所有“好的”子集的個數（答案寫成最簡結果）.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對分奇、偶兩種情況討論.

（1）當（為非負整數），這時中奇元素恰比偶元素多一個.設是的任何一個子集，則和中有且只有一個子集是“好的”，從而的“好子集”的個數為.

（2）當（為正整數），中奇元素個數與偶元素個數相等.定義為“壞子集”為當且僅當中奇元素個數小于偶元素的個數，而定義為“中性子集”（包括空集）為當且僅當中奇元素個數與偶元素個數相等.

由對稱性知，的“好子集”個數與“壞子集”的個數必定相等，所以有

“好子集”個數

.

其中公式可證明如下：考慮恒等式兩邊中項的系數，由二項式定理知，左邊式中項的系數是，而右邊式中的系數是，故得恒等式.

本題答案可統一地寫為

其中是不大于的最大整數）.

注：由恒等式可得組合恒等式：

（注意當時，）.這種利用模型來建立和證明組合恒等式的方法（叫做“模型法”）在組合數學中是很常用的，也很重要，應該熟悉進而掌握它.如果是個奇數和個偶數組成，那么的“好子集”個數又為多少呢？請讀者自己考慮之.