Question

【題目】已知函數，是偶函數.

（1）求的值；

（2）若函數的圖象在直線上方，求的取值范圍；

（3）若函數，，是否存在實數使得的最小值為?若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據偶函數定義,代入后根據對數的性質與運算化簡,即可求得的值.

（2）根據函數的圖象在直線上方,可知對于任意恒成立.分離參數,并構造函數.根據對數函數的性質即可求得的取值范圍.

（3）將的解析式代入,化簡后利用換元法轉化為二次函數.討論二次函數的對稱軸與區間的關系,即可求得最小值為0時的值,取符號要求的即可.

（1）函數,是偶函數

則滿足

所以

即

所以

解得

（2）由（1）可知,

因為函數的圖象在直線上方

所以對于任意恒成立

代入可得

所以對于任意恒成立

令

因為

所以由對數的圖像與性質可得

所以

（3）,,

且

代入化簡可得

令,因為

所以

則

當,即時,在上為增函數,

所以

解得,不合題意,舍去

當,即時,在上為減函數,在上為增函數,

所以

解得,所以

當,即時, 在上為減函數,

所以

解得不合題意,舍去

綜上可知,